Matematiikka.html

Matematiikan teemasivu

Eukleides, yksityiskohta Rafaelin teoksesta Ateenan koulu.

Matematiikka on deduktiiviseen päättelyyn perustuva formaali eli käsitteellinen tiede. Matematiikassa tutkitaan muun muassa määriä, rakenteita, muutoksia ja avaruuksia. Matemaattisen formalismin mukaan matematiikka on aksiomaattisesti määriteltyjen abstraktien rakenteiden tutkimista symbolisen logiikan ja matemaattisen merkintäjärjestelmän keinoin. Matematiikkaa käytetään fysikaalisten ja käsitteellisten suhteiden ilmaisemisen kielenä, jonka kielioppi ja käsitteistö on määritelty äärimmäisen tarkkaan. Tämä mahdollistaa asioiden ilmaisemisen yksikäsitteisesti, kun oletetaan loogisten rakenteiden pysyvän muuttumattomina.

Matematiikka ei tutki ympäröivää, fysikaalista todellisuutta, vaan käsitteellisiä riippuvuussuhteita. Tämän takia sitä ei yleensä lueta luonnontieteisiin. Vaikka matematiikan tutkimusongelmat tulevat usein luonnontieteistä, erityisesti fysiikasta, tutkitaan matematiikassa myös puhtaasti matematiikan sisäisiä alueita, joille ei välttämättä ainakaan heti ole sovellusalueita millään muulla tieteenalalla. Tällaiset matematiikan sisäisten tutkimusten tulokset voivat antaa hyödyllisiä työkaluja muiden matematiikan alueiden tutkimuksissa.

muokkaa Yleiskatsaus

Sana matematiikka (kreik. μαθηματικά, ’mathēmatiká’) tulee kreikan sanasta μάθημα (máthēma), joka tarkoittaa tiedettä, tietoa tai oppimista. Matematiikkoa tarkoittava kreikankielinen sana μαθηματικός (mathematikós) tarkoittaa ”halukas oppimaan”.

Matematiikan pääalueet syntyivät käytännön tarpeista. Laskutaito oli tarpeellinen niin kaupankäynnissä, maanmittauksessa kuin tähtitieteellisten tapahtumien ennustamisessakin. Matematiikka on siis alun perin muiden tieteiden (lähinnä luonnontieteiden) työkalu ja tutkimustulosten tarkka ilmaisuväline. Matematiikan avulla voidaan teoreettisesti tarkastella käytännössä havaittuja asioita ja tehdä näistä tutkimustuloksista johtopäätöksiä.

Matematiikan vanhimpia osa-alueita ovat aritmetiikka eli laskuoppi sekä geometria. Aritmetiikka käsittelee numeroita ja lukuja, joista ensimmäisenä on otettu käyttöön positiiviset kokonaisluvut eli luonnolliset luvut, sekä niillä suoritettavia laskutoimituksia. Lukukäsitteen myöhemmät laajennukset ovat johtaneet muidenkin lukulajien kuten reaalilukujen ja kompleksilukujen käyttöönottoon. Lukuteoria tutkii lukujen syvempiä ominaisuuksia. Yhtälöiden ratkaisemisessa tarvittavien menetelmien tutkimus johtaa algebraan.

Avaruuksien tutkiminen saa alkunsa geometriasta. Ensin kehitettiin euklidinen geometria, josta trigonometria on eriytynyt omaksi erikoisalakseen. Myöhemmin osoittautui, ettei euklidinen geometria ole ainoa looginen mahdollisuus, ja sen ohella onkin kehitetty myös epäeuklidisia geometrioita.

Nykyisen korkeamman matematiikan pääosiksi mainitaan tavallisesti abstrakti algebra, analyysi ja topologia, jotka jakaantuvat moniin osa-alueisiin. Matematiikan peruskäsitteiden tarkempi analysointi on johtanut joukko-opin kehittymiseen.

Matemaatikot loivat lukuisia välttämättömiä käsitteitä tietokoneita kehitettäessä; näistä kehittyi edelleen informaatioteoria.

muokkaa Tärkeitä teemoja matematiikassa

Seuraava lista antaa vain yhden mahdollisen näkemyksen.

muokkaa Kvantiteetti

Kvantiteetti alkaa laskemalla ja mittaamalla

$1, 2, \ldots$	$\ldots, -1, 0, 1, \ldots$	$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots$	$\pi, e, \sqrt{2},\ldots$	$i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots$
Luonnollinen luku	Kokonaisluku	Rationaaliluku	Reaaliluku	Kompleksiluku

muokkaa Rakenne

Ajatuksia koosta, symmetriasta ja matemaattisesta rakenteesta.

$36 \div 9 = 4$
Aritmetiikka	Lukuteoria	Abstrakti algebra	Ryhmäteoria	Järjestysteoria

muokkaa Avaruus

Visuaalisempi lähestymistapa matematiikkaan.


Geometria	Trigonometria	Differentiaaligeometria	Topologia	Fraktaaligeometria

muokkaa Muutos

Tapa ilmaista ja käsitellä muutosta matemaattisissa funktioissa ja lukujen välillä.

		$\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c$
Matemaattinen analyysi	Vektorilaskenta	Differentiaaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät	Kaaosteoria

muokkaa Perusteet ja metodit

Lähestymistapoja ymmärtämään matematiikan luonnetta.

$P \Rightarrow Q$
Matemaattinen logiikka	Joukko-oppi	Kategoriateoria

muokkaa Diskreetti matematiikka

Diskreetti matematiikka sisältää tekniikoita, jotka pätevät objekteihin, jotka voivat ottaa vain tiettyjä, erillisiä arvoja.

$[1,2,3][1,3,2]$ $[2,1,3][2,3,1]$ $[3,1,2][3,2,1]$
Kombinatoriikka	Laskennan teoria	Salakirjoitustekniikka	Graafiteoria

muokkaa Sovellettu matematiikka

Sovellettu matematiikka käyttää täyttä matematiikan tietoa ratkaisemaan tosielämän ongelmia.

Matemaattinen fysiikka – Mekaniikka – Numeerinen analyysi – Todennäköisyys – Tilastotiede – Matemaattinen talous – Finanssimatematiikka – Peliteoria – Matemaattinen biologia – Kryptografia – Tietokoneavusteinen matematiikka

muokkaa Tärkeitä teoreemia

Nämä teoriat ovat kiinnostaneet matemaatikkoja ja ei-matemaatikkoja.

De Moivren kaava- Eulerin lause - Fermat'n suuri lause - Goldbachin väittämä - Poincarén väittämä - Pythagoraan teoreema - Riemannin hypoteesi

muokkaa Tärkeitä konjektuureja

Nämä ovat joitain suurimmista ratkaisemattomista ongelmista matematiikassa. Katso myös luettelo ratkaisemattomista matemaattisista ongelmista.

Goldbachin konjektuuri – Riemannin hypoteesi – Poincarén konjektuuri – Collatzin konjektuuri – P=NP? – avoimet Hilbertin ongelmat.

muokkaa Katso myös

muokkaa Kirjallisuutta

Wikiaineistossa on lähdetekstiä aiheesta:

51 Matematiikka

Boyer, Carl B.: Tieteiden kuningatar: Matematiikan historia. Osat I–II. (Alkuteos: A history of mathematics, 1985). Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0 ja ISBN 951-884-158-6.
Karttunen, Hannu: Matematiikka. Tiedettä kaikille. Ursan julkaisuja 99. Helsingissä: Tähtitieteellinen yhdistys Ursa, 2006. ISBN 952-5329-48-8.

muokkaa Aiheesta muualla

Wikikirjastossa on aihe: Wikikirjasto:Matematiikan kirjahylly.